教材内容的有效拓展：奇妙的埃舍尔镶嵌图形-起云馆 学习了《图形的密铺》，我知道了一个图形的密铺，必须满足拼接点处的各个角之和等于360度，而

教材内容的有效拓展：奇妙的埃舍尔镶嵌图形-起云馆

学习了《图形的密铺》，我知道了一个图形的密铺，必须满足拼接点处的各个角之和等于360度，而且拼接边相等，并重合。可是在我们生活的周围并不是就单一的正多边形密铺的应用，请看下面几组镶嵌图案：

以上这些任意选择一种或几种图形镶嵌成的美丽装饰图案，时常浮现在我的脑海中。有的是几种多边形进行镶嵌，有的是一般多边形进行镶嵌，有的是正多边形进行镶嵌，到底是怎样的图形才可以进行镶嵌呢？
探索一/单种正多边形镶嵌问题
正三角形的每一个内角均为60°，在每个拼接点处可以容纳 6 个内角，正四边形的每一个内角均为 90° ，在每个拼接点处可以容纳 4 个内角，正六边形的每个内角为 120° ，在每个拼接点处，恰好能容下 3 个内角。他们都互相不重叠，没有空隙，所以能密铺欢乐元帅前传。而正五边形的每个内角是 108° ， 360 不是 108 的整数倍，在每个拼接点处，三个内角之和为 324° ，小于 360° ，四个内角之和为 432° ，大于 360° 。也就是说，在每个拼接点处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个内角，必定有重叠现象张少宇。所以，正五边形不能密铺。

从上图，我们不难看出能够镶嵌的条件之一是，约法三章拼接点处的几个角的和为360°，用单一正多边形进行镶嵌，就是要求几个正多边形的内角的和360°。于是，我们进行第一次图形镶嵌的实验，实验结果如下表所示：

当我们发现规律的同时，也在思考：仅限于同一种正多边形镶嵌，还能找到能镶嵌的其他正多边形吗被迫谈恋爱，正十边形、正二十边形、正一百边形……
假设正多边形的边数为n，由K个正多边形恰好可以镶嵌时，则这些铺在一个顶点处的K个正多边形的K个内角和应等于360°，而正n边形的每个内角的

因为K、n为正整数，故n只能等于3、4、6。这说明只用一种正多边形镶嵌，正多边形只有三种选择：
(1)6个正三角形；
(2)4个正四边形；
(3)3个正六边形；
探索二/单种正多边形镶嵌问题
如果是单种正多边形的话，只有正三角形、正四边形、正六边形才能镶嵌，那其他的单种图形就一定不能镶嵌了吗？于是，又陷入了思考……但我可以肯定的是形状大小不一的图形不能进行镶嵌。哪么形状、大小完全相同的任意三角形和任意四边形能不能镶嵌呢？
找了几个形状、大小一样的任意三角形和四边形，并给它们各个内角写上编号，经过动手实验后，发现任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌，但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。

探索三/两种正多边形镶嵌问题
如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢?我还是选择简单的正三边形、正四边形、正五边形、正六边形去实验：
镶嵌的关键是内角的度数，所以对正多边形的内角度数必须要有所了解快乐宝拉。
1、正三角形和正四边形

解：设每个顶点周围有x个正三角形和y个正四边形,
则:　60 °x+90 °y=360 °
即:　 2x+3y=12
　 又x、y是正整数,解得:x=3,y=2。
结论：每个顶点处用正三角形的三个内角,正方形的两个内角进行拼接。
2、正三角形和正六边形
解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形, 60 °m+120 °n=360 °, 即:m+2n=6，又m、n是正整数,解得:

结论：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两个正三角形和两个正六边形。
我的发现：两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°,这两种正多边形就能镶嵌。

如果是密铺开来，就可以形成美丽的镶嵌图形：

为了弄清n取何值时是整数，我在Excel中输入公式，输出60度到179度之间的正多边形内角度数，结果表示如左表，取其中内角度数是整数的多边形内角度数，结果表示成右表：
正n边形
内角度数
正n边形
内角度数
3
60
3
60
4
90
4
90
5
108
5
108
6
120
6
120
7
128.5714286
8
135
8
135
9
140
9
140
10
144
10
144
12
150
11
147.2727273
15
156
12
150
18
160
13
152.3076923
20
162
14
154.2857143
24
165
15
156
30
168
16
157.5
36
170
…
40
171
355
178.9859155
45
172
356
178.988764
60
174
357
178.9915966
72
175
358
178.9944134
90
176
359
178.9972145
120
177
360
179
180
178
360
179
由表格可知中，当n是3兜率天童，4香蕉战争，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45道隐仙途，60，72，90，120，180，360时，是整数阿潼作品集，共22个.
在上述的22种正多边形中可以两个组合进行镶嵌,共有以下几种:
(1)正三角形与三边以上的正多边形镶嵌.
1×60+1×300；→1×60+2×150；→1个正三角形，2个正12边形。(√)
2×60+1×240；→2×60+2×120；→2个正三角形，2个正6边形。(√)
3×60+1×180；→3×60+2×90；→3个正三角形，2个正4边形。(√)
4×60+1×120；→4×60+1×120；→4个正三角形，1个正6边形。(√)
5×60+1×30；(小于60度舍去)
(2)正四边形与四边以上的正多边形镶嵌.
1×90+1×270；→1×90+2×135；→1个正四边形，2个正8边形。(√)
2×90+1×180；→2×90+2×90；(等于90度舍去)
(3)正五边形与五边以上的正多边形镶嵌。
1×108+1×252；→1×108+2×126；→1×108+3×84；(小于108度舍去)
2×108+1×144；→2×108+1×144；→2个正五边形，1个正10边形。(√)
3×108+1×36；(小于108度舍去)
(4)正六边形与六边以上的正多边形镶嵌。
1×120+1×240；→1×120+2×120；(等于120度舍去)
设六边以上的正多边形的内角是x(x>120),所要镶嵌的图形共有n个(n≥3)则:
由120+(n-1)x=360得,n=240/x+1
再由 n≥3得侠盗密码, 240/x+1≥3,
解得 x≤120
显然,对于六边以上的正多边形是无法用2种图形进行镶嵌.
因此，两种正多边形进行镶嵌只有六种：
来源：(http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f2d4fbb0100cvc0.html) - 正多边形的镶嵌规律(学生小论文)_春暖花开_新(1)1个正三角形，2个正12边形；
(2)2个正三角形，2个正6边形；
(3)3个正三角形，2个正4边形；
(4)4个正三角形，1个正6边形；
(5)1个正四边形，金元萱2个正8边形；
(6)2个正五边形，1个正10边形；
探索四/ 三种正多边形镶嵌问题
根据探索二的结论，可以将探索二中的正多边形分成两个不相同的正多边形，组成三种正多边形的镶嵌。
由探索二中的(1)变化出如下:
(1)1×60+2×150→1×60+2×90+1×120→1个正三角形,2个正4边形,1个正6边形；
(2)1×60+2×150→1×60+1×135+1×165→1个正三角形,1个正8边形,1个正24边形；
(3)1×60+2×150→1×60+1×140+1×160→1个正三角形,1个正9边形,1个正18边形；
(4)1×60+2×150→1×60+1×144+1×156→1个正三角形,1个正10边形,1个正25边形.
由探索二中的(2)变化出如下:
(1)2×60+2×120→2×60+1×90+1×150→2个正三角形,1个正4边形,1个正12边形.
由探索二中的(3)(4)无法变化。
由探索二中的(5)变化如下:
(1)1×90+2×135→1×90+1×108+1×162→1个正4边形,1个正4边形,1个正20边形；
(2)1×90+2×135→1×90+1×120+1×150→1个正4边形,1个正6边形,1个正12边形；
由探索二中的(6)无法变化。
因此, 三种正多边形进行镶嵌只有七种：
(1)1个正三角形，2个正4边形魏伶优，1个正6边形；
(2)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形；
(3)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形；
(4)1个正三角形，1个正10边形，1个正25边形；
(5)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形；
(6)1个正4边形，1个正4边形，1个正20边形；
(7)1个正4边形盛世大宋，1个正6边形，1个正12边形.
探索五/ 三种以上正多边形镶嵌问题
根据上面的方法，我突然想到——是否还有四种正多边形进行镶嵌？或者说还有五种，甚至于六种呢沉珂的故事？
回答是否定的,因为正三角形、正四边形、正五边形、正六边形中，四个图形的角之和为：60°+90°+108°+120°=378°>360°。
所以不可能镶嵌.
探索六/ 继续完善镶嵌图形的研究
当我为自己探索出16种正多边形的镶嵌而高兴时，我搜索网络时发现平面镶嵌图形就是平面规则分割图形问题，是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种，称为埃舍尔镶嵌图形，一共有17种正多边形的镶嵌图形盛泽当家网。顿时，我愣住了，是哪里疏忽了或某个环节没考虑周全？另辟蹊径，我从边的角度重新去验证刚才的发现：如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？
解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t

No
m
n
t
1
3
7
42
2
3
8
24
3
3
9
18
4
4
3
10
5
5
3
12
6
4
5
20
7
4
6
12
8
4
8
8
9
5
5
10
10
6
6
6
我所探索的16种可能镶嵌的正多边形情形当中，还遗漏了内角度不是整数的一种情况：
1个正三角形，1个正7边形，1个正42边形。
这是我事先所没有考虑到的。正7边形的内角是900/7度，正42边形的内角是1200/7度，它们的和正好是360度。
关注身边的数学,关注数学中的美，探索永无止境……


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一重历史的门

全文详见：https://www.p66p.cn/39204.html

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